t-Test einfach erklärt: Formel, Rechenbeispiel und Interpretation

Ein t-Test prüft, ob sich ein Mittelwert von einem festen Wert oder zwei Mittelwerte voneinander unterscheiden, und zwar stärker, als der Zufall in einer Stichprobe erklären würde. Dazu teilen Sie die Mittelwertdifferenz durch ihren Standardfehler. Das Ergebnis ist der t-Wert. Je weiter er von 0 entfernt liegt, desto kleiner wird der p-Wert. Liegt p unter dem Signifikanzniveau von meist 5 %, verwerfen Sie die Nullhypothese. Es gibt drei Varianten: den Einstichproben-t-Test, den t-Test für unabhängige Stichproben (heute meist als Welch-Test) und den t-Test für abhängige Stichproben.

Was ist ein t-Test?

Der t-Test gehört zu den Hypothesentests. Er vergleicht Mittelwerte einer metrischen Variable, etwa Punkte, Stunden oder einen Skalenwert aus mehreren Fragebogen-Items. Der Name kommt von der t-Verteilung, die William Sealy Gosset 1908 unter dem Pseudonym „Student“ veröffentlichte. Deshalb heißt der Test auch Student-t-Test.

Sie formulieren zwei Hypothesen:

• Nullhypothese H0: Der Mittelwertunterschied in der Grundgesamtheit beträgt 0.
• Alternativhypothese H1: Der Unterschied ist ungleich 0 (zweiseitig) oder in eine vorher festgelegte Richtung größer bzw. kleiner als 0 (einseitig).

Der t-Test sagt Ihnen, wie gut Ihre Daten zur Nullhypothese passen. Er sagt nichts darüber, wie groß oder wichtig ein Unterschied ist. Dafür berechnen Sie zusätzlich eine Effektstärke wie Cohens d.

Welcher t-Test passt zu Ihrer Frage?

Vergleichen Sie drei oder mehr Gruppen, rechnen Sie eine ANOVA statt mehrerer t-Tests. Mit drei paarweisen t-Tests auf dem 5-%-Niveau steigt die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Fehlalarm auf bis zu 1 − 0,95³ = 14 %.

Für weitere Verfahren hilft unsere Entscheidungshilfe: Welcher statistische Test?

Voraussetzungen des t-Tests

1. Metrische Zielvariable: Intervall- oder Verhältnisskala. Ein Skalenwert aus mehreren Likert-Items gilt in den meisten Fächern als metrisch, ein einzelnes Likert-Item ist umstritten. Mehr dazu im Beitrag Likert-Skala auswerten.
2. Unabhängige Beobachtungen: Jede Person geht einmal in die Rechnung ein. Beim abhängigen t-Test gilt das für die Paare.
3. Normalverteilung: Die Mittelwerte bzw. beim abhängigen t-Test die Differenzen sollten annähernd normalverteilt sein. Ab etwa 30 Fällen pro Gruppe reagiert der t-Test robust auf Abweichungen. Bei kleinen Stichproben prüfen Sie das Q-Q-Diagramm und achten auf Ausreißer.
4. Gleiche Varianzen: Diese Annahme braucht nur der klassische Student-t-Test für unabhängige Stichproben. Der Welch-Test kommt ohne sie aus.

Levene-Test oder gleich Welch? Viele Lehrbücher empfehlen, zuerst mit dem Levene-Test die Varianzen zu prüfen und danach die passende Zeile zu wählen. Methodiker raten inzwischen davon ab: Der Vortest hat bei kleinen Gruppen wenig Teststärke, und die zweistufige Entscheidung verfälscht das Fehlerniveau. Der Welch-Test bleibt bei ungleichen Varianzen korrekt und verliert bei gleichen kaum Teststärke (Delacre et al., 2017). Wir empfehlen deshalb den Welch-Test als Standard. Erwartet Ihr Fach oder Ihr Betreuer den Levene-Test, berichten Sie beides.

Sind die Voraussetzungen deutlich verletzt, etwa bei ordinalen Daten mit kleiner Stichprobe oder starken Ausreißern, nutzen Sie eine nichtparametrische Alternative (siehe unten).

Die Formel des t-Tests

Alle drei Varianten folgen demselben Aufbau:

t = beobachtete Differenz / Standardfehler der Differenz

Legende: x̄ = Mittelwert der Stichprobe, μ0 = Vergleichswert, s = Standardabweichung, n = Fallzahl, sp = gepoolte Standardabweichung, d̄ = Mittelwert der Differenzen, sd = Standardabweichung der Differenzen.

Der Zähler misst den Unterschied, der Nenner die Unsicherheit. Ein Unterschied von 0,9 Punkten wiegt bei 10 Personen pro Gruppe weniger als bei 100, weil der Standardfehler mit wachsendem n kleiner wird.

t-Wert, kritischer Wert und p-Wert

Den t-Wert vergleichen Sie mit der t-Verteilung bei Ihren Freiheitsgraden. Es gibt zwei gleichwertige Wege zur Entscheidung:

• Kritischer Wert: Ist der Betrag von t größer als der kritische Wert aus der t-Tabelle, ist das Ergebnis signifikant.
• p-Wert: Die Software gibt den p-Wert aus. Er gibt an, wie wahrscheinlich ein mindestens so extremer t-Wert wäre, wenn die Nullhypothese stimmt. Ist p < .05, ist das Ergebnis auf dem 5-%-Niveau signifikant.

Ein nicht signifikantes Ergebnis beweist nicht, dass es keinen Unterschied gibt. Es heißt nur, dass Ihre Daten keinen ausreichenden Beleg liefern. Kleine Stichproben übersehen auch mittlere Effekte.

Einseitig oder zweiseitig? Testen Sie zweiseitig, außer Sie haben die Richtung vor der Datenerhebung begründet festgelegt. Einen einseitigen Test nachträglich zu wählen, weil das zweiseitige p knapp über .05 liegt, ist unzulässig.

Das Beispiel: Studienzufriedenheit von 20 Studierenden

Alle Rechnungen nutzen den fiktiven Fragebogen-Datensatz aus unserem Beitrag SPSS-Auswertung. 20 Studierende haben fünf Items zur Studienzufriedenheit beantwortet (1 = trifft überhaupt nicht zu bis 5 = trifft voll zu). Der Skalenwert zufr ist der Mittelwert der fünf Items, das negativ formulierte Item ist umgepolt.

Die Werte reichen, um jede Rechnung dieses Beitrags nachzuvollziehen. Den Weg vom Fragebogen zum Skalenwert zeigt der SPSS-Beitrag.

Beispiel 1: Einstichproben-t-Test

Frage: Liegt die Studienzufriedenheit über der Skalenmitte 3 („teils, teils“)?

Rechnung von Hand:

1. Mittelwert x̄ = 3,395, Standardabweichung s = 0,890, n = 20
2. Standardfehler = 0,890 / √20 = 0,199
3. t = (3,395 − 3) / 0,199 = 1,98
4. Freiheitsgrade df = 20 − 1 = 19
5. Kritischer Wert (zweiseitig, α = .05, df = 19): 2,093

Entscheidung: 1,98 < 2,093. Das Ergebnis ist nicht signifikant, p = .062. Das 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert reicht von 2,98 bis 3,81 und schließt die 3 ein. Cohens d = 0,395 / 0,890 = 0,44.

Interpretation: Die Studierenden liegen im Mittel leicht über der Skalenmitte. Mit 20 Personen reicht das nicht für einen Nachweis. Ein Effekt von d = 0,44 würde ab 42 Befragten mit 80 % Wahrscheinlichkeit signifikant.

Beispiel 2: t-Test für unabhängige Stichproben

Frage: Unterscheiden sich Studierende mit eigener Wohnung in ihrer Zufriedenheit von Studierenden, die bei den Eltern wohnen?

Rechnung von Hand (Student-t-Test):

1. Mittelwertdifferenz: 2,96 − 3,83 = −0,87
2. Varianzen: s1² = 0,425 (Eltern), s2² = 0,827 (eigene Wohnung)
3. Gepoolte Varianz: sp² = (9 · 0,425 + 9 · 0,827) / 18 = 0,626, also sp = 0,791
4. Standardfehler: 0,791 · √(1/10 + 1/10) = 0,354
5. t = −0,87 / 0,354 = −2,46, df = 18
6. Kritischer Wert (zweiseitig, α = .05, df = 18): 2,101

Entscheidung: Der Betrag 2,46 liegt über 2,101. Das Ergebnis ist signifikant, p = .024.

Welch-Test: Bei gleich großen Gruppen ergibt die Welch-Formel denselben t-Wert. Die Freiheitsgrade sinken wegen der ungleichen Varianzen auf 16,3, der p-Wert steigt auf .025. Das 95-%-Konfidenzintervall der Differenz reicht von −1,62 bis −0,12.

Effektstärke: Cohens d = −0,87 / 0,791 = −1,10. Das Minus zeigt nur die Richtung (Eltern < eigene Wohnung). Nach Cohen (1988) gilt ein Betrag ab 0,2 als kleiner, ab 0,5 als mittlerer und ab 0,8 als großer Effekt.

Interpretation: Studierende mit eigener Wohnung sind im Beispiel deutlich zufriedener. Der t-Test zeigt einen Zusammenhang mit der Wohnform. Ob die Wohnung die Ursache ist, kann er nicht zeigen, weil die Studierenden ihre Wohnform selbst gewählt haben.

Beispiel 3: t-Test für abhängige Stichproben

Frage: Lernen die zehn Studierenden, die bei den Eltern wohnen, im Januar (Klausurphase) mehr als im November?

Rechnung von Hand:

1. Mittelwert der Differenzen d̄ = 1,8 Stunden
2. Standardabweichung der Differenzen sd = 1,55
3. Standardfehler = 1,55 / √10 = 0,49
4. t = 1,8 / 0,49 = 3,67, df = 10 − 1 = 9
5. Kritischer Wert (zweiseitig, α = .05, df = 9): 2,262

Entscheidung: 3,67 > 2,262, signifikant, p = .005. Die Studierenden lernen im Januar im Mittel 1,8 Stunden mehr pro Woche (95-%-KI: 0,69 bis 2,91). Effektstärke dz = 1,8 / 1,55 = 1,16.

Typischer Fehler: Rechnen Sie dieselben Daten mit dem t-Test für unabhängige Stichproben, kommt t(18) = 1,57 mit p = .134 heraus, also kein signifikantes Ergebnis. Der gepaarte Test zieht die Unterschiede zwischen den Personen ab: Wer im November viel lernt, lernt auch im Januar viel (r = .82). Übrig bleibt die Veränderung, und die ist deutlich.

Voraussetzung prüfen: Beim abhängigen t-Test prüfen Sie die Normalverteilung der Differenzen, nicht der einzelnen Messzeitpunkte. Im Beispiel: Shapiro-Wilk p = .67.

Kritische Werte der t-Verteilung (t-Tabelle)

Liegen Ihre Freiheitsgrade zwischen zwei Zeilen, nehmen Sie die kleinere Zahl. Den genauen Wert liefert Excel mit =T.INV.2S(0,05;df) (zweiseitig) bzw. =T.INV(0,95;df) (einseitig).

t-Test in SPSS

Alle drei Varianten finden Sie unter Analysieren → Mittelwerte vergleichen:

Beim t-Test für unabhängige Stichproben zeigt SPSS zwei Zeilen: „Varianzen sind gleich“ (Student) und „Varianzen sind nicht gleich“ (Welch). Berichten Sie die Welch-Zeile. Im Beispiel: t = −2,46, df = 16,3, zweiseitiges p = .025. Ab SPSS 27 haken Sie „Effektgrößen schätzen“ an, dann erhalten Sie Cohens d. Den ganzen Weg vom Fragebogen bis zum t-Test zeigt unser Beitrag Fragebogen in SPSS auswerten.

t-Test in R

eltern  <- c(1.8, 3.8, 2.2, 3.2, 3.2, 3.8, 3.4, 2.8, 2.6, 2.8)
wohnung <- c(5.0, 2.5, 4.4, 2.8, 4.0, 3.4, 4.6, 3.0, 5.0, 3.6)

# Welch-Test (Standard in R)
t.test(eltern, wohnung)
# t = -2.4591, df = 16.318, p-value = 0.02545

# Student-t-Test mit gleichen Varianzen
t.test(eltern, wohnung, var.equal = TRUE)

# Einstichproben-t-Test gegen 3
t.test(c(eltern, wohnung), mu = 3)
# t = 1.9849, df = 19, p-value = 0.06179

# Abhängige Stichproben
nov <- c(3, 6, 4, 10, 2, 7, 4, 9, 5, 7)
jan <- c(5, 9, 3, 12, 5, 8, 8, 9, 8, 8)
t.test(jan, nov, paired = TRUE)
# t = 3.6742, df = 9, p-value = 0.005121

R rechnet ohne Zusatzangabe den Welch-Test. Cohens d berechnen Sie mit dem Paket effectsize: effectsize::cohens_d(eltern, wohnung).

t-Test in Excel

Excel liefert mit T.TEST den p-Wert, keinen t-Wert:

=T.TEST(A2:A11;B2:B11;2;3)

Ergebnisse im Beispiel: Typ 3 ergibt 0,025, Typ 2 ergibt 0,024, Typ 1 mit den Lernstunden ergibt 0,005.

Den t-Wert und Freiheitsgrade zeigt die Analyse-Funktion (Daten → Datenanalyse → „Zweistichproben t-Test: Unterschiedliche Varianzen“). Einen Einstichproben-t-Test bietet Excel nicht direkt. Sie rechnen ihn mit =(MITTELWERT(A2:A21)-3)/(STABW.S(A2:A21)/WURZEL(ANZAHL(A2:A21))) und erhalten den p-Wert mit =T.VERT.2S(ABS(t);19). Mehr dazu im Beitrag Statistische Auswertung mit Excel.

t-Test in JASP

JASP ist kostenlos und gibt Ergebnisse im APA-Stil aus. Unter T-Tests wählen Sie die Variante, ziehen die Variable in das Feld „Abhängige Variable“ und die Gruppe in „Gruppierungsvariable“. Haken Sie „Welch“, „Effektgröße“ und „Deskriptive Statistiken“ an. Die Ergebnistabelle kopieren Sie direkt in Word.

Ergebnis berichten: Beispiel nach APA

Studierende mit eigener Wohnung waren zufriedener mit ihrem Studium (M = 3,83, SD = 0,91) als Studierende, die bei den Eltern wohnen (M = 2,96, SD = 0,65). Ein Welch-t-Test ergab einen signifikanten Unterschied, t(16,3) = 2,46, p = .025, d = 1,10, 95-%-KI der Differenz [0,12; 1,62].

Die Studierenden lernten im Januar mehr als im November (M = 7,5 vs. 5,7 Stunden pro Woche), t(9) = 3,67, p = .005, dz = 1,16.

Was in jeden Bericht gehört: Mittelwerte und Standardabweichungen beider Gruppen, t-Wert mit Freiheitsgraden in Klammern, p-Wert ohne führende Null (p = .025, sehr kleine Werte als p < .001), Effektstärke und, wenn Ihr Fach es verlangt, das Konfidenzintervall. Nennen Sie, ob Sie Welch oder Student gerechnet haben.

Alternativen zum t-Test

Den z-Test brauchen Sie in der Praxis selten, weil die Varianz der Grundgesamtheit fast nie bekannt ist. Ab etwa 120 Freiheitsgraden liefern t-Test und z-Test nahezu dieselben kritischen Werte (1,98 gegen 1,96).

Häufige Fehler beim t-Test

• Mehrere t-Tests statt ANOVA: Bei drei Gruppen steigt die Fehlerrate auf bis zu 14 %.
• Unabhängigen Test für Vorher-nachher-Daten: Im Beispiel verschwindet ein deutlicher Effekt (p = .005 wird zu p = .134).
• Nicht signifikant als „kein Unterschied“ deuten: Beispiel 1 zeigt einen Effekt von d = 0,44, der mit 20 Personen nicht signifikant wird.
• Einseitig testen, weil zweiseitig knapp scheitert: Die Richtung legen Sie vor der Datenerhebung fest.
• Nur den p-Wert berichten: Ohne Mittelwerte und Effektstärke bleibt unklar, wie groß der Unterschied ist.
• Normalverteilung der Rohwerte statt der Differenzen prüfen: Beim gepaarten Test zählen die Differenzen.

Unterstützung bei Ihrem t-Test

Unsere Statistik-Experten beraten Sie bei der Wahl der passenden Variante, der Prüfung der Voraussetzungen, der Interpretation Ihrer Ausgabe aus SPSS, R, Excel oder JASP und beim Ergebnisbericht. Sie rechnen selbst und klären mit uns die methodischen Fragen, per Videocall, Telefon oder schriftlich.

Die Beratung kostet 60 bis 100 € pro Stunde, je nach Umfang und Verfahren. Sie erhalten vorab ein individuelles Angebot. Auf Anfragen antworten wir innerhalb von 12 Stunden. Mehr dazu auf der Seite Statistik-Beratung.

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Häufige Fragen zum t-Test

Was sagt der t-Test aus?

Der t-Test sagt aus, ob ein beobachteter Mittelwertunterschied mit dem Zufall vereinbar ist. Ist p kleiner als .05, gilt der Unterschied als statistisch signifikant. Wie groß der Unterschied ist, zeigt die Effektstärke.

Was ist der t-Wert?

Der t-Wert ist die Mittelwertdifferenz geteilt durch ihren Standardfehler. Ein t-Wert von 2,46 heißt: Der Unterschied ist 2,46-mal so groß wie seine zufällige Schwankung. Das Vorzeichen zeigt nur, welche Gruppe höher liegt.

Was ist die t-Verteilung?

Die t-Verteilung ist eine symmetrische, glockenförmige Verteilung mit breiteren Rändern als die Normalverteilung. Ihre Form hängt von den Freiheitsgraden ab. Mit wachsender Stichprobe nähert sie sich der Normalverteilung an.

Wie berechnet man einen t-Test?

Sie berechnen die Mittelwertdifferenz, teilen sie durch den Standardfehler und vergleichen das Ergebnis mit dem kritischen Wert der t-Verteilung bei Ihren Freiheitsgraden. Den genauen Rechenweg zeigen die drei Beispiele oben.

Welche Voraussetzungen hat der abhängige t-Test?

Eine metrische Variable, zwei Messungen derselben Personen oder fest gebildeter Paare und annähernd normalverteilte Differenzen. Gleiche Varianzen braucht der abhängige t-Test nicht.

Was ist der Unterschied zwischen t-Test und Welch-Test?

Der Welch-Test ist eine Variante des t-Tests für unabhängige Stichproben, die keine gleichen Varianzen voraussetzt. Er passt dafür die Freiheitsgrade an. R und viele Methodiker nutzen ihn als Standard.

Kann ich einen t-Test mit Likert-Daten rechnen?

Für einen Skalenwert aus mehreren Items ja, das ist in den meisten Fächern üblich. Für ein einzelnes Item mit fünf Stufen nutzen Sie besser den Mann-Whitney-U-Test oder klären die Wahl mit Ihrem Betreuer.

Wie groß muss die Stichprobe für einen t-Test sein?

Rechnen können Sie ab zwei Fällen pro Gruppe. Für einen mittleren Effekt (d = 0,5) brauchen Sie bei α = .05 und 80 % Teststärke rund 64 Personen pro Gruppe, für einen großen Effekt (d = 0,8) rund 26.

Quellen

• Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2. Aufl.). Lawrence Erlbaum.
• Delacre, M., Lakens, D. & Leys, C. (2017). Why psychologists should by default use Welch's t-test instead of Student's t-test. International Review of Social Psychology, 30(1), 92–101.
• Rasch, B., Friese, M., Hofmann, W. & Naumann, E. (2021). Quantitative Methoden 1 (5. Aufl.). Springer.
• Student (1908). The probable error of a mean. Biometrika, 6(1), 1–25.
• Welch, B. L. (1947). The generalization of „Student's“ problem when several different population variances are involved. Biometrika, 34(1–2), 28–35.